Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
an=l n n^2n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência an = ln n^2n converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Sabemos que ln n^2 pode ser reescrito usando a propriedade dos logaritmos que diz ln a^b = b ln a . Aplicando isso:
ln n^2 = 2 ln n
Então, a sequência fica:
an = 2 ln nn

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de an quando n tende ao infinito, ou seja:
limn to infty 2 ln nn
Para resolver esse limite, podemos usar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos indeterminações do tipo inftyinfty . A regra diz que se:
limx to c f(x)g(x) = inftyinfty ou 00
Então,
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hospital ao nosso limite:
limn to infty 2 ln nn
Derivando o numerador e o denominador em relação a n :
  • Derivada de 2 ln n em relação a n é 2n .
  • Derivada de n em relação a n é 1 .
Então, o limite fica:
limn to infty 2n1 = limn to infty 2n

Passo 5

Agora, o limite de 2n quando n tende ao infinito é bem simples:
limn to infty 2n = 0
Isso porque, conforme n aumenta, 2n fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Resposta

A sequência an = ln n^2n converge e o limite é 0.

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