Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Sabemos que
pode ser reescrito usando a propriedade dos logaritmos que diz
. Aplicando isso:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, ou seja:
Para resolver esse limite, podemos usar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos indeterminações do tipo
. A regra diz que se:
Então,
Passo 4
Vamos aplicar a regra de L’Hospital ao nosso limite:
Derivando o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, o limite de
quando
tende ao infinito é bem simples:
Isso porque, conforme
aumenta,
fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
Resposta
A sequência
converge e o limite é 0.