Se
e
, mostre o seguinte resultado:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A questão trata da transformada de Laplace, um método usado para resolver equações diferenciais. Aqui, sabemos que a transformada de Laplace de uma função
é
. Queremos mostrar que se a gente “espreme” a função no tempo, ou seja, considera
onde
, a nova transformada de Laplace será
. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e fazer algumas mudanças de variável.
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição da transformada de Laplace. Para uma função
, a transformada de Laplace é dada por:
Queremos calcular
, ou seja:
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos chamar
. Assim,
e
.
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever o expoente:
Além disso, a constante
pode ser tirada para fora da integral:
Passo 5
Observamos que a integral resultante é exatamente a transformada de Laplace de
com
substituído por
. Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que: