Se L(f)(s)=F(s) e a>0, mostre o seguinte resultado:
L(f(a t))(s)=1a F(sa)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A questão trata da transformada de Laplace, um método usado para resolver equações diferenciais. Aqui, sabemos que a transformada de Laplace de uma função f(t) é L(f)(s) = F(s) . Queremos mostrar que se a gente “espreme” a função no tempo, ou seja, considera f(a t) onde a > 0 , a nova transformada de Laplace será 1a F(sa) . Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e fazer algumas mudanças de variável.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição da transformada de Laplace. Para uma função f(t) , a transformada de Laplace é dada por:
L(f)(s) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
Queremos calcular L(f(a t))(s) , ou seja:
L(f(a t))(s) = integral0^infty e^-s t f(a t) , dt

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos chamar u = a t . Assim, t = ua e dt = dua .
Substituindo na integral, temos:
L(f(a t))(s) = integral0^infty e^-s (ua) f(u) cdot dua

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever o expoente:
e^-s (ua) = e^-(sa) u
Além disso, a constante 1a pode ser tirada para fora da integral:
L(f(a t))(s) = 1a integral0^infty e^-(sa) u f(u) , du

Passo 5

Observamos que a integral resultante é exatamente a transformada de Laplace de f(u) com s substituído por sa . Ou seja:
L(f(a t))(s) = 1a F(sa)

Resposta

Portanto, mostramos que:
L(f(a t))(s) = 1a F(sa)

Exercícios relacionados