Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=2^n+23^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 2^n+23^n
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é sequência geométrica e limites de sequência. Vamos precisar reconhecer a forma geométrica e usar o resultado de que, se a razão r satisfaz lvert rrvert<1, então r^nto0.

Passo 2

Vamos reescrever an como uma sequência geométrica padrão. Note que
2^n+2 = 2^2cdot2^n = 4cdot2^n,
então
an = 4cdot2^n3^n = 4;gl(23gr)^n
Isso mostra que an é da forma an = 4,r^n, com r = tfrac23.

Passo 3

Lembrando a propriedade de sequências geométricas: se lvert rrvert<1, então
limntoinfty r^n = 0
Aqui temos llverttfrac23rrvert = tfrac23 < 1, logo
limntoinfty l(tfrac23r)^n = 0

Passo 4

Como an = 4,l(tfrac23r)^n e 4 é constante, pelo teorema do fator constante no limite,
limntoinfty an = 4 ,limntoinfty l(tfrac23r)^n = 4 times 0 = 0
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty an = 0

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