Utilize o Teste da Série Alternada para decidir quanto a convergência ou divergência de cada série abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série infinita
O objetivo é usar o Teste da Série Alternada para decidir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e aplicar os critérios do teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. A série tem a forma:
onde
.
O Teste da Série Alternada funciona se três condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é decrescente. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Os termos
são positivos:
Observamos que
é sempre positivo para todo
, porque tanto o numerador
quanto o denominador
são positivos. Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
2. A sequência
é decrescente:
Para verificar se
está diminuindo conforme
aumenta, podemos observar o comportamento da função. Vamos simplificar
:
À medida que
cresce,
se aproxima de zero, então
se aproxima de 1. Portanto,
se comporta aproximadamente como
, que é uma função decrescente. Assim, a segunda condição também é satisfeita.
Passo 5
3. O limite de
quando
tende ao infinito é zero:
Vamos calcular o limite:
Simplificando:
Portanto, o limite é zero, satisfazendo a terceira condição.
Resposta
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série
converge.