Utilize o Teste da Série Alternada para decidir quanto a convergência ou divergência de cada série abaixo.
sumn=1^infty(-1)^n nraizn^3+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série infinita
sumn=1^infty (-1)^n nraizn^3+2
O objetivo é usar o Teste da Série Alternada para decidir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e aplicar os critérios do teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. A série tem a forma:
sumn=1^infty (-1)^n an
onde an = nraizn^3+2 .
O Teste da Série Alternada funciona se três condições forem atendidas:
  1. Os termos an são positivos.
  2. A sequência an é decrescente.
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Os termos an são positivos:
Observamos que nraizn^3+2 é sempre positivo para todo n >= 1 , porque tanto o numerador n quanto o denominador raizn^3+2 são positivos. Então, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

2. A sequência an é decrescente:
Para verificar se an está diminuindo conforme n aumenta, podemos observar o comportamento da função. Vamos simplificar an :
an = nraizn^3+2 = nn^3/2 raiz1 + 2n^3 = 1n^1/2 raiz1 + 2n^3
À medida que n cresce, 2n^3 se aproxima de zero, então raiz1 + 2n^3 se aproxima de 1. Portanto, an se comporta aproximadamente como 1raizn , que é uma função decrescente. Assim, a segunda condição também é satisfeita.

Passo 5

3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero:
Vamos calcular o limite:
limn to infty an = limn to infty nraizn^3+2
Simplificando:
limn to infty nn^3/2 raiz1 + 2n^3 = limn to infty 1n^1/2 raiz1 + 2n^3 = 0
Portanto, o limite é zero, satisfazendo a terceira condição.

Resposta

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série
sumn=1^infty (-1)^n nraizn^3+2
converge.

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