Determine se a seqüência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o seu limite.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência an = ln(2+e^n)3n. O conteúdo é limites de sequências envolvendo logaritmo e exponencial, e vamos precisar usar propriedades de logaritmo e equivalências assintóticas.

Passo 2

Aplicamos a propriedade ln(ab)=ln a + ln b ao termo ln(2+e^n). Escrevendo 2+e^n = e^n(1+2e^-n), temos:
ln(2+e^n) = lnl(e^n(1+2e^-n)r) = n + lnl(1+2e^-nr)

Passo 3

Como e^-nto 0 quando ntoinfty, segue que lnl(1+2e^-nr)toln(1)=0. Substituindo de volta em an:
an = n + ln(1+2e^-n)3n = n3n + ln(1+2e^-n)3n = 13 + ln(1+2e^-n)3n

Passo 4

O segundo termo ln(1+2e^-n)3n tende a 0 pois o numerador tende a 0 e o denominador cresce sem limite. Portanto,
limntoinftyan = 13 + 0 = 13

Resposta

A sequência converge e seu limite é 13.

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