QuestĂŁo 33: Aplique o teorema da divergĂŞncia para achar o fluxo do campo vecF atravĂŠs de S, orientada positivamente:
S, onde W ĂŠ a superfĂ­cie do sĂłlido x=raizy^2+z^2 imitado pelo cone x=3 e pelo plano .

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vec F(x,y,z)=(x^2+y^2),vec i + (y^2-2xy),vec j + (4z-2yz),vec k através da superfície S que é a fronteira do sólido W limitado pelo cone x=raizy^2+z^2 e pelo plano x=3. O método indicado é o Teorema da Divergência, que exige calcular nablacdotvec F e então integrar esse divergente sobre o volume de W.

Passo 2

Começamos encontrando o divergente de vec F. Lembrando que
nablacdotvec F=partialpartial x(x^2+y^2)+partialpartial y(y^2-2xy)+partialpartial z(4z-2yz).
Calculando cada termo: o primeiro é 2x, o segundo é 2y-2x e o terceiro é 4-2y. Somando, obtemos o divergente constante:
nablacdotvec F = 2x + (2y-2x) + (4-2y) = 4

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de vec F através de S, orientada positivamente (para fora), é
integral duplaSvec Fcdot dvec S = integral triplaW (nablacdotvec F),dV = integral triplaW 4,dV = 4,Vol(W)

Passo 4

Agora precisamos do volume de W. Para cada valor de x entre 0 e 3, a seção transversal em y,z é o disco de raio x, cuja área é
A(x)=pi x^2
Logo,
Vol(W)=integral0^3A(x),dx = integral0^3pi x^2,dx = pix^33|0^3 = 9pi

Passo 5

Substituindo no fluxo, temos
integral duplaSvec Fcdot dvec S = 4times 9pi = 36pi

Resposta

36pi

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