QuestĂŁo 33: Aplique o teorema da divergĂŞncia para achar o fluxo do campo
atravĂŠs de
, orientada positivamente:
, onde
ĂŠ a superfĂcie do sĂłlido
imitado pelo cone
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície
que é a fronteira do sólido
limitado pelo cone
e pelo plano
. O método indicado é o Teorema da Divergência, que exige calcular
e então integrar esse divergente sobre o volume de
.
Passo 2
Começamos encontrando o divergente de
. Lembrando que
.
Calculando cada termo: o primeiro é , o segundo é
e o terceiro é
. Somando, obtemos o divergente constante:
Calculando cada termo: o primeiro é
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
através de
, orientada positivamente (para fora), é
Passo 4
Agora precisamos do volume de
. Para cada valor de
entre 0 e 3, a seção transversal em
é o disco de raio
, cuja área é
Logo,
Passo 5
Substituindo no fluxo, temos