QuestĂŁo 33: Aplique o teorema da divergĂŞncia para achar o fluxo do campo
atravĂŠs de
, orientada positivamente:
, onde
ĂŠ a superfĂcie do sĂłlido
limitado pelos hemisfĂŠrios
e
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo de
através da superfície fechada
que envolve o sólido
limitado pelos hemisférios
,
e pelo plano
. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que substitui o cálculo do fluxo pela integral de volume da divergência de
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a divergência de
. Em coordenadas cartesianas,
[\nabla\cdot\vec F=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y\sin z)+\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}+z\sin x)+\frac{\partial}{\partial z}(z^{3})]
As derivadas são
[\nabla\cdot\vec F=3x{2}+3y{2}+3z{2}=3,(x{2}+y{2}+z{2})]
[\nabla\cdot\vec F=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y\sin z)+\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}+z\sin x)+\frac{\partial}{\partial z}(z^{3})]
As derivadas são
[\nabla\cdot\vec F=3x{2}+3y{2}+3z{2}=3,(x{2}+y{2}+z{2})]
Passo 3
Agora, descrevemos a região
: é a casca esférica entre raios
e
, restrita ao semiespaço
. Em coordenadas esféricas temos
[\rho\in[1,2],\quad\phi\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\quad\theta\in[0,2\pi],]
e o elemento de volume é .
[\rho\in[1,2],\quad\phi\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\quad\theta\in[0,2\pi],]
e o elemento de volume é
Passo 4
Montamos a integral tripla do teorema da divergência:
[\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S=\iiint_{W}(\nabla\cdot\vec F),dV =3\int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi/2}!\int_{1}{2}\rho{2},(\rho^{2}\sin\phi),d\rho,d\phi,d\theta,.]
[\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S=\iiint_{W}(\nabla\cdot\vec F),dV =3\int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi/2}!\int_{1}{2}\rho{2},(\rho^{2}\sin\phi),d\rho,d\phi,d\theta,.]
Passo 5
Agora computamos passo a passo:
[\int_{1}{2}\rho{4},d\rho=\left[\frac{\rho{5}}{5}\right]_{1}{2}=\frac{32-1}{5}=\frac{31}{5},]
[\int_{0}^{\pi/2}\sin\phi,d\phi=1,\quad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,]
[\int_{1}{2}\rho{4},d\rho=\left[\frac{\rho{5}}{5}\right]_{1}{2}=\frac{32-1}{5}=\frac{31}{5},]
[\int_{0}^{\pi/2}\sin\phi,d\phi=1,\quad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,]
Passo 6
Portanto o valor final da integral é
[3\times\frac{31}{5}\times1\times2\pi=\frac{186\pi}{5}.]
[3\times\frac{31}{5}\times1\times2\pi=\frac{186\pi}{5}.]