QuestĂŁo 33: Aplique o teorema da divergĂŞncia para achar o fluxo do campo vecF atravĂŠs de S, orientada positivamente:
S, onde W ĂŠ a superfĂ­cie do sĂłlido z=raiz4-x^2-y^2 limitado pelos hemisfĂŠrios z=raiz1-x^2-y^2 e z=0 e pelo plano .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de vec F(x,y,z)=(x^3+ysin z),vec i+(y^3+zsin x),vec j+z^3,vec k através da superfície fechada S que envolve o sólido W limitado pelos hemisférios z=raiz4-x^2-y^2, z=raiz1-x^2-y^2 e pelo plano z=0. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que substitui o cálculo do fluxo pela integral de volume da divergência de vec F.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a divergência de vec F. Em coordenadas cartesianas,
[\nabla\cdot\vec F=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y\sin z)+\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}+z\sin x)+\frac{\partial}{\partial z}(z^{3})]
As derivadas são
[\nabla\cdot\vec F=3x{2}+3y{2}+3z{2}=3,(x{2}+y{2}+z{2})]

Passo 3

Agora, descrevemos a região W: é a casca esférica entre raios rho=1 e rho=2, restrita ao semiespaço z>=0. Em coordenadas esféricas temos
[\rho\in[1,2],\quad\phi\in[0,\tfrac{\pi}{2}],\quad\theta\in[0,2\pi],]
e o elemento de volume é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 4

Montamos a integral tripla do teorema da divergência:
[\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S=\iiint_{W}(\nabla\cdot\vec F),dV =3\int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi/2}!\int_{1}{2}\rho{2},(\rho^{2}\sin\phi),d\rho,d\phi,d\theta,.]

Passo 5

Agora computamos passo a passo:
[\int_{1}{2}\rho{4},d\rho=\left[\frac{\rho{5}}{5}\right]_{1}{2}=\frac{32-1}{5}=\frac{31}{5},]
[\int_{0}^{\pi/2}\sin\phi,d\phi=1,\quad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,]

Passo 6

Portanto o valor final da integral é
[3\times\frac{31}{5}\times1\times2\pi=\frac{186\pi}{5}.]

Resposta

186pi5

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