Usando as propriedades (1), (2), (3) e (4) encontre as derivadas das funções abaixo
F(x)=raizx+raiz[3]x+raiz[4]x

Passo 1

O exercício pede para derivar a função F(x)=raizx+raiz[3]x+raiz[4]x, que trata de derivadas de potências fracionárias. Vamos usar a regra geral de derivação de funções do tipo x^n, isto é, (x^n)'=n,x^n-1.

Passo 2

Primeiro, convertemos cada radical em potência fracionária:
F(x)=x^1/2+x^1/3+x^1/4

Passo 3

Agora aplicamos a regra do poder separadamente em cada termo:
ddxl(x^1/2r)=tfrac12,x^1/2-1=tfrac12,x^-1/2
ddxl(x^1/3r)=tfrac13,x^1/3-1=tfrac13,x^-2/3
ddxl(x^1/4r)=tfrac14,x^1/4-1=tfrac14,x^-3/4

Passo 4

Por fim, juntando os resultados e, se preferir, reescrevendo expoentes negativos em forma de radical, temos a derivada de F.

Resposta

F'(x)=tfrac12,x^-1/2+tfrac13,x^-2/3+tfrac14,x^-3/4
ou, equivalentemente,
F'(x)=12raizx+13,x^2/3+14,x^3/4

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