Determine se a seqüência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência converge ou diverge quando e, em caso de convergência, encontrar seu limite. O conteúdo principal é análise de limite de sequência e comportamento assintótico de funções logarítmicas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão usando a propriedade do logaritmo:
Passo 3
Para estudar o limite de , observamos que a função logarítmica cresce muito mais lentamente que a função linear. Alternativamente, definimos a função contínua para e usamos a regra de L’Hôpital no limite . Derivando numerador e denominador:
Passo 4
Como o limite da função contínua coincide com o da sequência, concluímos que limntoinftyan=0.