Determine se a seqüência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o seu limite.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência an=ln(n^2)n converge ou diverge quando ntoinfty e, em caso de convergência, encontrar seu limite. O conteúdo principal é análise de limite de sequência e comportamento assintótico de funções logarítmicas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão usando a propriedade do logaritmo: an=ln(n^2)n=2ln nn

Passo 3

Para estudar o limite de 2ln nn, observamos que a função logarítmica cresce muito mais lentamente que a função linear. Alternativamente, definimos a função contínua f(x)=2ln xx para x>0 e usamos a regra de L’Hôpital no limite xtoinfty. Derivando numerador e denominador:
limxtoinftyf(x)=limxtoinfty2ln xx xrightarrowLHôpital limxtoinfty2,/,x1=limxtoinfty2x=0ô

Passo 4

Como o limite da função contínua coincide com o da sequência, concluímos que limntoinftyan=0.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan=0.

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