Usando a propriedade (5) encontre a derivada das funções abaixo
f(t)=raiz[3]t(1-t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)= raiz[3]t(1-t). O conteúdo é derivada de um produto de funções e vamos usar a propriedade (5), que é a regra do produto, junto com a regra da potência para t^{1/3}.

Passo 2

Vamos escrever f(t) como um produto f(t)=u(t)·v(t), onde u(t)= t^1/3 e v(t)= 1-t. Primeiro calculamos u’(t) pela regra da potência:
Para u(t)= t^1/3, a derivada é u’(t)= tfrac13t^-2/3. Para v(t)= 1-t, a derivada é v’(t)= -1.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto: f’(t)=u’(t)·v(t)+u(t)·v’(t). Assim temos
f'(t)=13t^-2/3(1-t)+t^1/3(-1)
Agora simplificamos essa expressão. Primeiro escrevemos tudo com denominador comum 3t^{2/3}:
f'(t)=1-t3t^2/3-3t^1/3+2/33t^2/3=1-t-3t3t^2/3=1-4t3t^2/3

Resposta

f'(t)=1-4t3t^2/3

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