Usando a propriedade (5) encontre a derivada das funções abaixo

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y=(x^3+x^2+1)(x^2+2) usando a propriedade (5), que é a regra do produto.

Passo 2

A regra do produto diz que, se y=f(x)g(x), então y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). Vamos usar isso aqui.

Passo 3

Definimos f(x)=x^3+x^2+1 e g(x)=x^2+2. Calculando as derivadas: f'(x)=3x^2+2x e g'(x)=2x.

Passo 4

Substituímos na regra do produto: y'=(3x^2+2x)(x^2+2)+(x^3+x^2+1)(2x)

Passo 5

Agora é só expandir e combinar termos iguais: $ (3x2+2x)(x2+2)=3x4+2x3+6x^2+4x$ e (3x^2+2x)(x^2+2)=3x^4+2x^3+6x^2+4x, somando dá (x^3+x^2+1)(2x)=2x^4+2x^3+2x.

Resposta

y'=5x^4+4x^3+6x^2+6x

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