Usando a propriedade (5) encontre a derivada das funções abaixo

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos derivar a função usando a propriedade (5), que é a regra do produto. Temos
f(t) = (t^4 + t^2 - 1)(t^2 - 2)
Logo, vamos precisar aplicar a derivada de um produto de duas funções.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares de forma que f é o produto delas:
u(t) = t^4 + t^2 - 1, v(t) = t^2 - 2

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada uma:
Para u(t):
u'(t) = 4t^3 + 2t
Para v(t):
v'(t) = 2t

Passo 4

Aplicamos a regra do produto: se f(t)=u(t)v(t), então
f'(t) = u'(t),v(t) + u(t),v'(t)
Substituindo:
f'(t) = (4t^3 + 2t)(t^2 - 2) + (t^4 + t^2 - 1)(2t)

Passo 5

Para finalizar, expandimos e combinamos termos:
f'(t) = 4t^5 - 8t^3 + 2t^3 - 4t + 2t^5 + 2t^3 - 2t = 6t^5 - 4t^3 - 6t

Resposta

f'(t) = 6t^5 - 4t^3 - 6t

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