Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
ln (n^2)n

Passo 1

A sequência dada é a_n = ln(n^2)n. O conteúdo aqui é limites de sequência e vamos precisar usar propriedades do logaritmo e resultados sobre crescimento de funções.

Passo 2

Usando a propriedade do logaritmo, temos ln(n^2)=2ln n. Então a sequência fica an=2ln nn

Passo 3

Para estudar limntoinftyan, observamos que o logaritmo cresce muito mais devagar que uma função linear. Em particular, limntoinftyln nn=0.

Passo 4

Uma forma de justificar rigorosamente é usar o argumento de L’Hôpital no equivalente contínuo f(x)=ln xx. Derivando numerador e denominador: f'(x)=1/x1=1x, cujo limite quando xtoinfty é 0. Portanto limntoinftyln nn=0, e multiplicando por 2 segue que limntoinftyan=0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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