Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
A sequência dada é a_n =
. O conteúdo aqui é limites de sequência e vamos precisar usar propriedades do logaritmo e resultados sobre crescimento de funções.
Passo 2
Usando a propriedade do logaritmo, temos
. Então a sequência fica
Passo 3
Para estudar
, observamos que o logaritmo cresce muito mais devagar que uma função linear. Em particular,
.
Passo 4
Uma forma de justificar rigorosamente é usar o argumento de L’Hôpital no equivalente contínuo
. Derivando numerador e denominador:
, cujo limite quando
é 0. Portanto
, e multiplicando por 2 segue que
.
Resposta
A sequência converge e seu limite é 0.