Encontre a derivada da função.
F(x)=(4 x+5)^3(x^2-2 x+5)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x) = (4x+5)^3,(x^2-2x+5)^4
O conteúdo é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x) = (4x+5)^3, v(x) = (x^2-2x+5)^4,
de modo que F(x)=u(x),v(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) por regra da cadeia:
a derivada de (4x+5)^3 é
u'(x)=3,(4x+5)^2cdotddx(4x+5) =3,(4x+5)^2cdot 4 =12,(4x+5)^2

Passo 4

Calculamos v'(x) também por regra da cadeia:
a derivada de (x^2-2x+5)^4 é
v'(x)=4,(x^2-2x+5)^3cdotddx(x^2-2x+5) =4,(x^2-2x+5)^3cdot (2x-2)

Passo 5

Pela regra do produto,
F'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =12,(4x+5)^2,(x^2-2x+5)^4 +(4x+5)^3,4,(2x-2),(x^2-2x+5)^3

Passo 6

Fatoramos o comum (4x+5)^2,(x^2-2x+5)^3:
F'(x)=(4x+5)^2(x^2-2x+5)^3l[12,(x^2-2x+5) +4,(4x+5),(2x-2)r]

Passo 7

Simplificamos o colchete:
12(x^2-2x+5) +4(4x+5)(2x-2) =12x^2-24x+60 +4l(8x^2+2x-10r) =12x^2-24x+60+32x^2+8x-40 =44x^2-16x+20 =4,(11x^2-4x+5)

Resposta

F'(x) =4,(11x^2-4x+5),(4x+5)^2,(x^2-2x+5)^3

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