Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
arctg(2 n2 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para investigar o comportamento da sequência an=arctgl(tfrac2n2n+1r) quando ntoinfty. O conteúdo envolvido é limite de sequência e uso da continuidade da função arctan.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite do argumento de arctg. Dividindo numerador e denominador por n, temos:
limntoinfty 2n2n+1 = limntoinfty 22 + tfrac1n = 22 + 0 = 1

Passo 3

Como arctan(x) é função contínua em R, podemos trocar o limite interior pelo argumento da função. Logo:
limntoinfty an = limntoinfty arctgl(2n2n+1r) = arctgl(limntoinfty 2n2n+1r) = arctg(1)

Passo 4

Sabendo que arctg(1)=pi/4, concluímos que a sequência converge e seu limite é pi/4.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é pi/4.

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