Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(18) an=n!2^n
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Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente:
(a) raizn^2+1-raizn

Passo 1

A questão pede pra gente verificar se duas sequências divergem ou convergem, e em caso de convergência encontrar seu limite. O conteúdo envolve comparação de taxas de crescimento (fatorial vs. exponencial) e comportamento assintótico de funções de n.

Passo 2

Para a sequência an=n!2^n, note que o fatorial cresce muito mais rápido que a potência 2^n. Formalmente, podemos usar o teste da razão entre termos consecutivos:
an+1an =(n+1)!/2^n+1n!/2^n =n+12
Como n+12to+infty quando ntoinfty, a razão excede 1 para todo n grande, o que mostra que an cresce sem limite. Logo, diverge para +infty.

Passo 3

Para a sequência bn=raizn^2+1-raizn, podemos comparar com algo que sabemos divergir. Observe que
raizn^2+1-raizn>raizn^2-raizn=n-raizn
Como n-raiznto+infty quando ntoinfty, a mesma conclusão vale para bn. Portanto, bn também diverge para +infty.

Resposta

A primeira sequência diverge para +∞ e a segunda sequência também diverge para +∞.

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