Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(18)
54
Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente:
(a)
(18)
54
Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente:
(a)
Passo 1
A questão pede pra gente verificar se duas sequências divergem ou convergem, e em caso de convergência encontrar seu limite. O conteúdo envolve comparação de taxas de crescimento (fatorial vs. exponencial) e comportamento assintótico de funções de n.
Passo 2
Para a sequência
, note que o fatorial cresce muito mais rápido que a potência
. Formalmente, podemos usar o teste da razão entre termos consecutivos:
Como
quando
, a razão excede 1 para todo
grande, o que mostra que
cresce sem limite. Logo, diverge para
.
Passo 3
Para a sequência
, podemos comparar com algo que sabemos divergir. Observe que
Como
quando
, a mesma conclusão vale para
. Portanto,
também diverge para
.
Resposta
A primeira sequência diverge para +∞ e a segunda sequência também diverge para +∞.