Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=n^2-1n^2+1

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar a sequência an = n^2 - 1n^2 + 1, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo envolvido é o estudo de limites de sequências para n to infty, em particular sequências definidas por quociente de polinômios.

Passo 2

Para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite, fatoramos n^2 no numerador e no denominador:
n^2 - 1n^2 + 1 = n^2l(1 - 1n^2r)n^2l(1 + 1n^2r) = 1 - 1n^21 + 1n^2

Passo 3

Agora vamos usar o fato de que 1n^2to 0 quando ntoinfty. Então no numerador temos 1 - 1n^2to 1 e no denominador 1 + 1n^2to 1. Portanto:
limntoinfty an = limntoinfty 1 - 1n^21 + 1n^2 = 1 - 01 + 0 = 1

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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