Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=1n^2+2n^2+cdots+nn^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an = 1n^2 + 2n^2 + cdots + nn^2 converge ou diverge, e caso convir, encontrar seu limite. O conteúdo envolve soma de termos de uma sequência e cálculo de limite.

Passo 2

Escrevemos a soma como soma de k divididos por n^2:
an = sumk=1^n kn^2 = 1n^2sumk=1^n k

Passo 3

Usamos a fórmula da soma dos n primeiros naturais:
sumk=1^n k = n(n+1)2

Passo 4

Substituindo na expressão de an obtemos:
an = 1n^2 cdot n(n+1)2 = n(n+1)2n^2 = n^2 + n2n^2 = 12 + 12n

Passo 5

Para concluir, basta tomar o limite quando n to +infty:
limntoinfty an = limntoinftyl(12 + 12nr) = 12 + 0 = 12

Resposta

A sequência converge e seu limite é tfrac12.

Exercícios relacionados