Determine se a seqüência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o seu limite.
an=1n^2+2n^2+ldots+nn^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an = 1n^2 + 2n^2 + cdots + nn^2 converge ou diverge e, em caso de convergência, achar seu limite. O conteúdo envolvido é limite de sequência e soma de progressão aritmética; vamos usar a fórmula da soma dos primeiros n números naturais.

Passo 2

Observe que podemos reescrever an como soma de frações com denominador comum. Escrevemos
an = sumk=1^n kn^2 = 1n^2 sumk=1^n k

Passo 3

Aplicamos a fórmula da soma dos primeiros n números naturais: sumk=1^n k = tfracn(n+1)2. Substituindo em an e simplificando, temos
an = 1n^2 cdot n(n+1)2 = n(n+1)2n^2 = n+12n = 12 + 12n

Passo 4

Para encontrar o limite, observamos que 12n to 0 quando n to infty. Assim,
limntoinfty an = 12 + 0 = 12
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = tfrac12.

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