QuestĂŁo 33: Aplique o teorema da divergĂŞncia para achar o fluxo do campo vecF atravĂŠs de S, orientada positivamente:
S, onde W ĂŠ a superfĂ­cie do sĂłlido z=x^2+y^2 limitado pelo parabolĂłide z=4 e pelo plano .

Passo 1

O problema pede o fluxo de vec F=(xy^2+cos z), i+(x^2y+sin z), j+e^y, k através da superfície fechada S que fecha o volume W limitado por z=x^2+y^2 e z=4. Para isso a gente vai usar o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo por S num triplo integral do divergente de vec F sobre W.

Passo 2

Primeiro calculamos o divergente de vec F: ele é dado por nablacdotvec F=partialpartial x(xy^2+cos z)+partialpartial y(x^2y+sin z)+partialpartial z(e^y). Fazendo as derivadas, obtemos
nablacdotvec F=y^2+x^2+0=x^2+y^2

Passo 3

Agora o fluxo é
integral duplaSvec Fcdot d S=integral triplaW(x^2+y^2),dV

Passo 4

Para calcular esse integral na região W usamos coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz. As cotas vão ser
0<= r<=2,0<=theta<=2pi, r^2<= z<=4

Passo 5

Substituindo tudo, o integral fica
integral0^2piintegral0^2integralr^2^4r^2cdot r,dz,dr,dtheta=integral0^2piintegral0^2r^3(4-r^2),dr,dtheta

Passo 6

A gente primeiro integra em r:
integral0^2(4r^3-r^5),dr=l[r^4-r^66r]0^2=16-646=163

Passo 7

Por fim integra em theta:
integral0^2pi163,dtheta=163cdot2pi=32pi3

Resposta

32pi3

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