QuestĂŁo 33: Aplique o teorema da divergĂŞncia para achar o fluxo do campo
atravĂŠs de
, orientada positivamente:
, onde
ĂŠ a superfĂcie do sĂłlido
limitado pelo parabolĂłide
e pelo plano
.
Passo 1
O problema pede o fluxo de
através da superfície fechada
que fecha o volume
limitado por
e
. Para isso a gente vai usar o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo por
num triplo integral do divergente de
sobre
.
Passo 2
Primeiro calculamos o divergente de
: ele é dado por
. Fazendo as derivadas, obtemos
Passo 3
Agora o fluxo é
Passo 4
Para calcular esse integral na região
usamos coordenadas cilíndricas:
,
,
e
. As cotas vão ser
Passo 5
Substituindo tudo, o integral fica
Passo 6
A gente primeiro integra em
:
Passo 7
Por fim integra em
: