A integral integral0^1 integral0^1-x(y-x) raizx+y d y d x pode ser calculada com a mudança de variáveis u=y-x, v=x+y.
A integral nas coordenadas u v é dada por integral0^1 integralu1^u2 alpha u raizv d u d v. Determine as expressões de u1, u2 e alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla fazendo uma mudança de variáveis para e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente mudança de variáveis em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as variáveis, encontrar o Jacobiano dessa transformação e determinar os novos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar u = y - x v = x + y e u + v = y - x + x + y = 2y Rightarrow y = u + v2 em termos de v - u = x + y - (y - x) = 2x Rightarrow x = v - u2 e x = v - u2 y = u + v2 . Temos:
Podemos resolver esse sistema para e :
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então, as expressões são:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o Jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v e partial xpartial u = -12, partial xpartial v = 12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12 em relação a J = -12 & 12 12 & 12 e det(J) = (-12)(12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12 .
A matriz Jacobiana é:
Calculando as derivadas:
Então,
O determinante de é:
O valor absoluto do Jacobiano é , então .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração para 0 <= v <= 1 0 <= u <= v e . Originalmente, varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a .
Usando as transformações:
Quando , e , então varia de 0 a 1.
Quando , , então e (mas como não pode ser negativa, o limite superior para será ).
Para , e , então varia de a 0. Porém, observando a região de integração original (primeiro quadrante), varia de 0 a .
Portanto, os novos limites são:
Então, e .

Resposta

As expressões são:
u1 = 0, u2 = v, alpha = 12

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