A integral
pode ser calculada com a mudança de variáveis
.
A integral nas coordenadas
é dada por
. Determine as expressões de
e
.
A integral nas coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla
fazendo uma mudança de variáveis para
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente mudança de variáveis em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as variáveis, encontrar o Jacobiano dessa transformação e determinar os novos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
e
em termos de
e
. Temos:
Podemos resolver esse sistema para
e
:
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então, as expressões são:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o Jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
A matriz Jacobiana é:
Calculando as derivadas:
Então,
O determinante de
é:
O valor absoluto do Jacobiano é
, então
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração para
e
. Originalmente,
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 a
.
Usando as transformações:
Quando
,
e
, então
varia de 0 a 1.
Quando
,
, então
e
(mas como
não pode ser negativa, o limite superior para
será
).
Para
,
e
, então
varia de
a 0. Porém, observando a região de integração original (primeiro quadrante),
varia de 0 a
.
Portanto, os novos limites são:
Então,
e
.
Resposta
As expressões são: