Resolva os sistemas de EDO’s, utilizando os autovalores e autovetores
Passo 1
O enunciado dá o sistema de EDO’s com condições iniciais e pede as soluções
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A meta é encontrar as funções
que satisfazem o sistema e as condições iniciais.]
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial para facilitar o uso de autovalores e autovetores. Defina o vetor
Então o sistema pode ser reescrito como
onde a matriz
é
Agora vamos buscar os autovalores
e os autovetores
de
resolvendo
e
. Se a multiplicidade algébrica de um autovalor for maior do que a geométrica, precisaremos também de um autovetor generalizado (explico isso no passo correspondente).]
Passo 3
Calcule o polinômio característico
:
Agora expandimos cuidadosamente:
então adicionando
(porque
) obtemos
Observe que
Portanto há um único autovalor com multiplicidade algébrica
:
Passo 4
Agora encontramos os autovetores resolvendo
com
. Calculamos
:
Resolvendo
para
:
isso dá a equação
, ou seja
. Podemos escolher um autovetor simples
A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é
, menor que a multiplicidade algébrica
. Logo
não é diagonalizável e precisamos de um autovetor generalizado para construir a solução geral (próximo passo eu explico o porquê e como obter).]
Passo 5
Explicação do caso com autovalor repetido e apenas um autovetor: quando
é raiz de multiplicidade
mas existe apenas um autovetor
, a exponencial matricial gera termos que envolvem
. A forma canônica da solução geral nesse caso (cadeia de Jordan de comprimento 2) é
onde
é um autovetor generalizado que satisfaz
Isto vem da teoria de cadeias de Jordan e também pode ser verificado ao diferenciar e substituir na EDO. Vamos então encontrar
.
Passo 6
Calcule
resolvendo
. Escreva
. Temos
As duas linhas são iguais, então basta uma equação:
Existem muitas escolhas possíveis para
; escolhemos uma conveniente, por exemplo
, então
. Assim um autovetor generalizado é
Passo 7
Agora escrevemos a solução geral usando
, o autovetor
e o autovetor generalizado
:
Lembrando que
, e que
,
.]
Passo 8
Aplique as condições iniciais em
Isso dá o sistema para
:
Escrevendo componente a componente:
Da segunda equação vem (C_1=2]. Substituindo na primeira:
]
Passo 9
Substituímos
e
na expressão de
:
Agora calculemos explicitamente:
Somando:
Portanto
Isto nos dá as soluções explicitamente:
Passo 10
Checagem rápida (no estilo amigo que confirma): em
temos
e
conforme pedido. Se alguém quiser, pode substituir
e
na equação original para verificar que as derivadas satisfazem o sistema (isto confirma a validade da solução).