O que o problema pede: encontrar X(t), S(t) e P(t) usando autovalores e autovetores (isto é, resolver o sistema linear por diagonalização/escalonamento por autovetores).]
Passo 2
Transformar o sistema em forma matricial \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}, com \mathbf{x}(t)=(X,S,P)^\top.
A partir das equações lemos as entradas da matriz A:
Explicando: a primeira linha corresponde a X' = 0\cdot X + (-1)\cdot S + 0\cdot P, etc. O objetivo é diagonalizar A (quando possível) ou, equivalentemente, encontrar autovalores \lambda e autovetores v e escrever a solução geral como combinação linear \sum c_i e^{\lambda_i t} v_i.]
Passo 3
Calcular os autovalores: resolvemos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Da primeira y=-4x. Da segunda z=\tfrac{x}{2}. A terceira é a mesma que a segunda (compatível). Tomando x=2 (apenas para evitar frações) obtemos y=-8, z=1. Então um autovetor correspondente é
(Se quiser checar rapidamente: em t=0 cada exponencial vale 1, então X(0)=-2+6+3=7, S(0)=8-6+3=5, P(0)=-1+12-6=5, compatível com as condições iniciais.)