Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{n^{3}+2}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{n^{3} + 2}{5^{n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo envolve análise de sequências e uso do critério da razão (ou comparação de crescimentos de polinômios e exponenciais).

Passo 2

Aplicamos o critério da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(n+1)^{3}+2}{5^{\,n+1}}}{\frac{n^{3}+2}{5^{n}}} = \frac{(n+1)^{3}+2}{n^{3}+2}\,\frac{1}{5}.
Tomando o limite quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{3}+2}{n^{3}+2} =1,
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\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{1}{5}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n+1}/a_{n} = 1/5 < 1, o critério da razão nos garante que a_{n} converge e, de fato, quando a razão limite é menor que 1, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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