Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{9 n^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{n+1}{\sqrt{9n^{2}+1}}
e pede o comportamento de a_{n} quando n\to\infty. O assunto aqui é limite de sequência e vamos usar manipulação algébrica para expor as potências de n.

Passo 2

Fatoramos n no numerador e no denominador dividindo tudo por n:
a_{n} = \frac{n+1}{\sqrt{9n^{2}+1}} = \frac{n\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)}{\,n\sqrt{9+\tfrac{1}{n^{2}}}\,} = \frac{1+\tfrac{1}{n}}{\sqrt{9+\tfrac{1}{n^{2}}}}.

Passo 3

Agora aplicamos o limite usando que \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{1}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty. Assim,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1+0}{\sqrt{9+0}} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1}{3}.

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