Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\left\{\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}
e verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo necessário aqui é a definição de fatorial, em particular a relação
k! = k \times (k-1)!.

Passo 2

Usando a relação de fatorial com k=2n+1, temos
(2n+1)! = (2n+1)\times(2n)\times(2n-1)!.
Substituindo no denominador de a_n,
a_{n} = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)\,(2n)\,(2n-1)!}.

Passo 3

Podemos simplificar (2n-1)! no numerador e denominador, obtendo
a_{n} = \frac{1}{(2n)\,(2n+1)}.

Passo 4

Para n\to\infty, os fatores 2n e 2n+1 crescem sem limite, logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n\,(2n+1)} = 0.
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

Exercícios relacionados