Encontrar o valor das integrais definidas (os itens que precisarem dos métodos de substituição, mudança de variável ou por partes aconcelho deixarem para fazer depois de assistir a aula 2).
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}(x) e^{\cos (x)+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \sin(x)\,e^{\cos(x)+1}\,dx
O conteúdo da matéria aqui é integração por substituição, pois o exponencial tem argumento \cos(x)+1 e sua derivada envolve \sin(x).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \cos(x) + 1,
logo
du = -\sin(x)\,dx
e, portanto,
\sin(x)\,dx = -\,du.

Passo 3

Mudamos também os limites de integração segundo u. Quando x=0,
u = \cos(0) + 1 = 2,
e quando x=1,
u = \cos(1) + 1.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int_{0}^{1} \sin(x)\,e^{\cos(x)+1}\,dx = \int_{2}^{\,\cos(1)+1} e^{u}\,(-du) = -\int_{2}^{\,\cos(1)+1} e^{u}\,du.

Passo 5

A integral de e^{u} é e^{u}, então
- \int_{2}^{\,\cos(1)+1} e^{u}\,du = -\bigl[e^{u}\bigr]_{2}^{\,\cos(1)+1} = -\bigl(e^{\cos(1)+1} - e^{2}\bigr) = e^{2} - e^{\cos(1)+1}.

Resposta

e^{2} - e^{\cos(1)+1}.

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