Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=1-\left(\frac{2}{10}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
\displaystyle a_{n} = 1 - \bigl(\tfrac{2}{10}\bigr)^{n}.
O conteúdo envolve limites de sequência, em particular sequências geométricas, e vamos precisar usar o fato de que, se \lvert q\rvert<1, então \lim_{n\to\infty}q^{n}=0.

Passo 2

Observe que a parte variável de a_{n} é
\displaystyle b_{n} = \bigl(\tfrac{2}{10}\bigr)^{n},
que é uma sequência geométrica de razão
\displaystyle q = \tfrac{2}{10}.

Passo 3

Como \lvert q\rvert = \bigl\lvert\tfrac{2}{10}\bigr\rvert = 0,2 < 1, vale
\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\bigl(\tfrac{2}{10}\bigr)^{n} = 0.

Passo 4

Então o limite de a_{n} é
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{2}{10}\bigr)^{n}\Bigr) = 1 - \lim_{n\to\infty}\bigl(\tfrac{2}{10}\bigr)^{n} = 1 - 0 = 1.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = 1.

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