Encontre uma equação para a reta tangente à curva y=x \sqrt{x} que seja paralela à reta y=1+3 x.
Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva y=1+x^{3} e que são paralelas à reta $12 x-y=1.

Passo 1

O enunciado pede tangentes paralelas às retas dadas. Para obter a equação da reta tangente a uma curva y=f(x) com coeficiente angular igual a m, calculamos a derivada f'(x), igualamos a m e resolvemos para x. Em seguida, obtemos o ponto \bigl(x,f(x)\bigr) e escrevemos a reta usando a forma ponto-declive.

Passo 2

Na curva y=x\sqrt{x}=x^{3/2} a derivada é
y'=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr)=\frac{3}{2}x^{1/2}.
Igualando ao coeficiente angular da reta y=1+3x, que é 3,
\frac{3}{2}x^{1/2}=3 \quad\Longrightarrow\quad x^{1/2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=4.

Passo 3

No ponto x=4 temos
y=4^{3/2}=8.
Assim, a reta tangente de coeficiente angular 3 passando por (4,8) satisfaz
y-8=3(x-4),
logo
y=3x-4.

Passo 4

Para a curva y=1+x^3 a derivada é
y'=3x^2.
Queremos tangentes paralelas à reta 12x-y=1, que em forma y=12x-1 tem coeficiente angular 12. Logo
3x^2=12 \quad\Longrightarrow\quad x^2=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.

Passo 5

Em x=2 temos y=1+2^3=9, de modo que a reta tangente é
y-9=12(x-2) \quad\Longrightarrow\quad y=12x-15.
Em x=-2 temos y=1+(-2)^3=-7, de modo que a reta tangente é
y+7=12(x+2) \quad\Longrightarrow\quad y=12x+17.

Resposta

Para y=x\sqrt{x} a reta é
y=3x-4.
Para y=1+x^3 as retas são
y=12x-15 e y=12x+17.

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