Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n} \cdot \log n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}\,\log n}.
Este é um problema de teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o teste de comparação (direto ou por comparação de limite) com a p-série \sum 1/n^{3/2}, que sabemos convergir pois 3/2>1.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{1}{n \sqrt{n}\,\log n} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n^{3/2}}.
Para n\ge2 temos \log n>0, logo
0 < a_n = \frac{1}{n^{3/2}\,\log n} < \frac{1}{n^{3/2}} = b_n.
Como \sum b_n é convergente (p-série com expoente 3/2>1), e 0\le a_n\le b_n, pelo teste de comparação direta concluímos que \sum a_n converge.

Passo 3

Alternativamente, pelo teste da comparação por limite, calcule
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/(n^{3/2}\,\log n)}{1/n^{3/2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n} = 0.
Como 0<L<\infty (de fato L=0) e \sum b_n converge, segue que \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}\,\log n} converge.

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