Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty}=(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
O conteúdo usado será o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Denotando
a_n = (-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},
aplicamos o teste da razão calculando
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{x^{2(n+1)+1}/(2(n+1)+1)!}{x^{2n+1}/(2n+1)!}\right| = \frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+3)}.

Passo 3

Devemos tomar o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+3)}=0.
Como esse limite é 0 para todo x, ele é sempre menor que 1.

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge para qualquer valor de x. Logo o raio de convergência é infinito:
R = \infty
e o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).

Resposta

Raio de convergência: R=\infty.
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty).

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