Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{(\ln n)^{2}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=\frac{(\ln n)^{2}}{n}
converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar seu limite. Vamos usar o conceito de limite de sequência via limite de função para x\to\infty e aplicar a regra de l’Hôpital, pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{(\ln x)^{2}}{x},
para x>1, e avaliamos
\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x}.
Como isso é uma forma \tfrac{\infty}{\infty}, aplicamos l’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{d}{dx}[(\ln x)^{2}]}{\dfrac{d}{dx}[x]} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x\cdot\dfrac1x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x}.

Passo 3

Ainda temos forma \tfrac{\infty}{\infty}, então aplicamos l’Hôpital de novo:
\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{d}{dx}[2\ln x]}{\dfrac{d}{dx}[x]} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\cdot\dfrac1x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x} =0.

Passo 4

Como \lim_{x\to\infty}f(x)=0, segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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