Exercício 1 Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}.
O assunto é limite de forma indeterminada 0/0 e vamos usar a técnica de racionalização de denominador.

Passo 2

Ao substituir x=3 temos numerador 3-3=0 e denominador \sqrt{3}-\sqrt{3}=0, logo forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Por isso precisamos manipular a expressão antes de aplicar o limite.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, \sqrt{x}+\sqrt{3}:
\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}\;\times\;\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} =\frac{(x-3)\,(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{3})^2} =\frac{(x-3)\,(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{x-3}.

Passo 4

Para x\neq3 podemos cancelar o fator x-3, ficando \sqrt{x}+\sqrt{3}.
Essa função é contínua em x=3, então basta avaliar o limite direto.

Passo 5

Fazendo x\to3 em \sqrt{x}+\sqrt{3} obtemos
\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{3}

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