Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede que verifiquemos se ela converge e, em caso afirmativo, encontremos
. Para isso, usaremos propriedades de limites e o logaritmo natural.
Passo 2
Definimos
Como
, temos
Sabemos que, se
, então pela continuidade da exponencial
.
Passo 3
Vamos calcular
. Observamos que o numerador cresce muito mais devagar que o denominador. Para formalizar, considere a fun\c{c}~ao cont’inua
. Pelo crit’erio de L’H^opital:
Logo
.
Passo 4
Como
, temos
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.