Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=n^{\frac{1}{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência a_n = n^{1/n} e pede que verifiquemos se ela converge e, em caso afirmativo, encontremos
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n. Para isso, usaremos propriedades de limites e o logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
b_n = \ln(a_n).
Como a_n = n^{1/n}, temos
b_n = \ln\bigl(n^{1/n}\bigr) = \frac{1}{n}\,\ln(n).
Sabemos que, se \lim_{n\to\infty}b_n = L, então pela continuidade da exponencial
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}e^{b_n} = e^L.

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}. Observamos que o numerador cresce muito mais devagar que o denominador. Para formalizar, considere a fun\c{c}~ao cont’inua f(x)=\frac{\ln(x)}{x}. Pelo crit’erio de L’H^opital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0.
Logo \lim_{n\to\infty}b_n = 0.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}b_n = 0, temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}e^{b_n} = e^0 = 1.

Resposta

A sequência \displaystyle a_n = n^{1/n} converge e seu limite é 1.

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