Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôpital não for aplicável, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\tan x}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to \pi}\frac{\tan x}{x}.
Estamos em um caso de limite de quociente. A ideia é verificar se a substituição direta leva a uma forma indeterminada. Se não for indeterminado, usamos continuidade; caso contrário, aplicaríamos a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Calcular separadamente os limites do numerador e do denominador por substituição direta:
\lim_{x\to \pi}\tan x = \tan(\pi) = 0,
\lim_{x\to \pi}x = \pi \neq 0.
Como obtemos 0 no numerador e um valor não nulo no denominador, a expressão não é indeterminada.

Passo 3

Quando o limite do numerador é 0 e o do denominador é um número diferente de zero, o limite do quociente é simplesmente
\frac{0}{\pi}=0.
Não há necessidade de usar a Regra de L’Hôpital porque não há forma 0/0 nem \infty/\infty.

Resposta

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