Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôpital não for aplicável, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{4}}-\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\Bigl(\frac{1}{x^{4}}-\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Estamos em um contexto de limites que geram formas indeterminadas, e o texto sugere usar a Regra de L’Hôpital quando apropriado.

Passo 2

Ao observar cada parcela separadamente, temos
\frac{1}{x^4}\to +\infty \quad\text{e}\quad \frac{1}{x^2}\to +\infty \quad\text{quando }x\to0.
Logo, a express~ao assume a forma \infty - \infty, que n~ao 'e diretamente tratada pela Regra de L’Hôpital. Precisamos reescrever como quociente.

Passo 3

Colocando tudo sobre o mesmo denominador,
\frac{1}{x^{4}}-\frac{1}{x^{2}} =\frac{1 - x^{2}}{x^{4}}.
Agora o limite vira
\lim_{x\to 0}\frac{1 - x^{2}}{x^{4}}.
Aqui o numerador tende a 1 e o denominador a 0, sem cancelar nada. Portanto não há indeterminação: o quociente cresce sem limite.

Passo 4

Para x muito próximo de zero, x^4>0 e 1-x^2 fica próximo de 1, então
\frac{1 - x^{2}}{x^{4}}\to +\infty.

Resposta

O limite diverge para +\infty.

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