Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência (1+\tfrac{1}{n})^n converge e, em caso afirmativo, achar \lim_{n\to\infty}a_n. O conteúdo envolvido é limites de sequência e manipulação de logaritmos.

Passo 2

Defino b_n = \ln(a_n). Como a_n = (1+\tfrac{1}{n})^n, aplicando a propriedade do logaritmo:
b_n = \ln\bigl((1+\tfrac{1}{n})^n\bigr) = n \ln\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr).

Passo 3

Para calcular \lim_{n\to\infty}b_n, note que
b_n = \frac{\ln\left(1+\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}.
Essa expressão é do tipo 0/0. Usando a expansão de Taylor \ln(1+x)=x - x^2/2 + O(x^3) para x\to0 (ou L’Hôpital), temos
\lim_{n\to\infty}b_n = 1.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}b_n = 1, voltamos ao a_n com a exponencial:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}e^{b_n} = e^1 = e.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty}a_n = e.

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