Encontrar o valor das integrais definidas (os itens que precisarem dos métodos de substituição, mudança de variável ou por partes aconcelho deixarem para fazer depois de assistir a aula 2).
\int_{-2}^{3} 5+x-6 x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{3}\bigl(5 + x - 6x^{2}\bigr)\,dx
O conteúdo aqui é a integração de polinômios, usando as regras básicas de potência.

Passo 2

Encontramos uma antiderivada F(x) de 5 + x - 6x^{2} aplicando termo a termo:
\int 5\,dx = 5x,\quad \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2},\quad \int -6x^{2}\,dx = -6\cdot\tfrac{x^{3}}{3}=-2x^{3}.
Logo,
F(x) = 5x + \tfrac{x^{2}}{2} - 2x^{3}.

Passo 3

Agora avaliamos F(x) em x=3 e em x=-2:
F(3) = 5\cdot3 + \tfrac{3^{2}}{2} - 2\cdot3^{3} = 15 + \tfrac{9}{2} - 54 = 15 + 4{,}5 - 54 = -34{,}5,
F(-2) = 5\cdot(-2) + \tfrac{(-2)^{2}}{2} - 2\cdot(-2)^{3} = -10 + \tfrac{4}{2} - 2\cdot(-8) = -10 + 2 +16 = 8.

Passo 4

O valor da integral é
\int_{-2}^{3}\bigl(5 + x - 6x^{2}\bigr)\,dx = F(3) - F(-2) = -34{,}5 - 8 = -42{,}5 = -\tfrac{85}{2}.

Resposta

-\tfrac{85}{2}

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