Use o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral da equação
y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=sec t,-pi2<t<pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
y''' - y'' + y' - y = sec t, -pi2 < t < pi2
O conteúdo que vamos utilizar aqui é de equações diferenciais lineares de ordem superior e, especificamente, o método de variação de parâmetros. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y''' - y'' + y' - y = 0
Para isso, assumimos soluções da forma y = e^rt , onde r é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação homogênea:
r^3 e^rt - r^2 e^rt + r e^rt - e^rt = 0
Podemos fatorar e^rt (que nunca é zero):
e^rt (r^3 - r^2 + r - 1) = 0
Portanto, temos a equação característica:
r^3 - r^2 + r - 1 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação característica r^3 - r^2 + r - 1 = 0 . Testando possíveis valores racionais, vemos que r = 1 é uma raiz, pois:
1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0
Então, podemos fatorar (r - 1) da equação cúbica.

Passo 5

Dividindo r^3 - r^2 + r - 1 por (r - 1) usando divisão polinomial ou fatoração, encontramos:
r^3 - r^2 + r - 1 = (r - 1)(r^2 + 0r + 1) = (r - 1)(r^2 + 1)

Passo 6

As raízes da equação característica são:
  1. r = 1 (da fatoração r - 1 = 0 )
  2. r^2 + 1 = 0 r = pm i
Então, temos as soluções fundamentais:
y1 = e^t, y2 = cos t, y3 = sin t

Passo 7

A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dessas soluções:
yh = C1 e^t + C2 cos t + C3 sin t
onde C1, C2, C3 são constantes arbitrárias.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros. A equação completa é:
y''' - y'' + y' - y = sec t
Vamos procurar yp na forma:
yp = u1 e^t + u2 cos t + u3 sin t
onde u1, u2, u3 são funções a serem determinadas.

Passo 9

Calculamos as derivadas necessárias de yp :
yp' = u1' e^t + u1 e^t + u2' cos t - u2 sin t + u3' sin t + u3 cos t
yp'' = u1'' e^t + 2 u1' e^t + u1 e^t + u2'' cos t - 2 u2' sin t - u2 cos t + u3'' sin t + 2 u3' cos t - u3 sin t
yp''' = u1''' e^t + 3 u1'' e^t + 3 u1' e^t + u1 e^t + u2''' cos t - 3 u2'' sin t - 3 u2' cos t + u2 sin t + u3''' sin t + 3 u3'' cos t - 3 u3' sin t - u3 cos t

Passo 10

Substituindo yp e suas derivadas na equação original e simplificando, obtemos um sistema de equações para u1, u2, u3 . Para simplificar o processo, geralmente impomos condições adicionais, como:
u1' e^t + u2' cos t + u3' sin t = 0
u1' e^t + (-u2' sin t + u3' cos t) = 0
u1' e^t + u2' (-cos t) + u3' (-sin t) = sec t

Passo 11

Resolvendo o sistema linear para u1', u2', u3' :
Montamos a matriz dos coeficientes e encontramos as derivadas u1', u2', u3' usando determinantes ou outras técnicas de resolução de sistemas lineares.
Após resolver, obtemos as funções u1, u2, u3 .

Passo 12

Integrando u1', u2', u3' , encontramos u1, u2, u3 . Substituindo de volta na expressão de yp , obtemos a solução particular.

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^t + C2 cos t + C3 sin t + yp

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^t + C2 cos t + C3 sin t + yp
onde C1, C2, C3 são constantes arbitrárias e yp é a solução particular encontrada pelo método da variação de parâmetros.

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