Use o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é de equações diferenciais lineares de ordem superior e, especificamente, o método de variação de parâmetros. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos soluções da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Portanto, temos a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
. Testando possíveis valores racionais, vemos que
é uma raiz, pois:
Então, podemos fatorar
da equação cúbica.
Passo 5
Dividindo
por
usando divisão polinomial ou fatoração, encontramos:
Passo 6
As raízes da equação característica são:
-
(da fatoração ) -
⇒
Então, temos as soluções fundamentais:
Passo 7
A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dessas soluções:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros. A equação completa é:
Vamos procurar
na forma:
onde
são funções a serem determinadas.
Passo 9
Calculamos as derivadas necessárias de
:
Passo 10
Substituindo
e suas derivadas na equação original e simplificando, obtemos um sistema de equações para
. Para simplificar o processo, geralmente impomos condições adicionais, como:
Passo 11
Resolvendo o sistema linear para
:
Montamos a matriz dos coeficientes e encontramos as derivadas
usando determinantes ou outras técnicas de resolução de sistemas lineares.
Após resolver, obtemos as funções
.
Passo 12
Integrando
, encontramos
. Substituindo de volta na expressão de
, obtemos a solução particular.
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
são constantes arbitrárias e
é a solução particular encontrada pelo método da variação de parâmetros.