Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(3n(n+1)+12^n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftyl(3n(n+1)+12^nr)
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido são séries telescópicas e séries geométricas.

Passo 2

Perceba que podemos separar a soma em duas séries:
sumn=1^infty3n(n+1) e sumn=1^infty12^n
Cada uma delas pode ser estudada isoladamente.

Passo 3

Para a série telescópica note que
3n(n+1)=3l(1n-1n+1r)
O somatório parcial até N é
sumn=1^N3l(1n-1n+1r) =3l(1-1N+1r),
que, ao deixar Ntoinfty, tende a
3cdot1=3
Logo, essa parte converge.

Passo 4

A série geométrica
sumn=1^infty12^n
tem razão r=tfrac12 com |r|<1, então converge para
tfrac121-tfrac12=1

Passo 5

Como soma de séries convergentes é convergente, a série original converge.

Resposta

A série converge.

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