a) Para quais valores reais de a sequência é convergente?
b) Para quais valores reais de a sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência, em termos de , de duas sequências: a geométrica e a sequência com fator polinomial . O conteúdo envolve limites de sequências, em particular o comportamento da sequência geométrica e o uso do teste da razão para avaliar convergência.
Passo 2
Análise da sequência :
Se , a parte geométrica decai exponencialmente e
Se , todos os termos são iguais a , logo
Se , temos alternância entre e sem estabilizar, ou seja, não há limite.
Se , então e a sequência diverge.
Portanto, converge exatamente quando ou .
Passo 3
Análise da sequência : aplicando o teste da razão,
Se |r|<1, a razão-limite é menor que 1, então limntoinftyn,r^n=0.
Se |r|>1, a razão-limite é maior que 1 e a sequência diverge em módulo.
Se |r|=1, para r=1 temos ntoinfty (diverge) e para r=-1 o módulo cresce sem limite e há alternância de sinal (não converge).
Logo, n,r^n converge somente se |r|<1.
Resposta
a) A sequência r^n converge se, e somente se, |r|<1 ou r=1.
b) A sequência n,r^n converge se, e somente se, |r|<1.