a) Para quais valores reais de r a sequência r^n é convergente?
b) Para quais valores reais de r a sequência n r^n é convergente?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência, em termos de rinR, de duas sequências: a geométrica r^n e a sequência com fator polinomial n,r^n. O conteúdo envolve limites de sequências, em particular o comportamento da sequência geométrica e o uso do teste da razão para avaliar convergência.

Passo 2

Análise da sequência r^n:
  • Se |r|<1, a parte geométrica decai exponencialmente e
limntoinftyr^n=0
  • Se r=1, todos os termos são iguais a 1, logo
limntoinftyr^n=1
  • Se r=-1, temos alternância entre 1 e -1 sem estabilizar, ou seja, não há limite.
  • Se |r|>1, então limntoinfty|r^n|=infty e a sequência diverge.
    Portanto, r^n converge exatamente quando |r|<1 ou r=1.

Passo 3

Análise da sequência n,r^n: aplicando o teste da razão,
|an+1an| =|(n+1)r^n+1n,r^n| =n+1n,|r| ;xrightarrow[ntoinfty];|r|
  • Se |r|<1, a razão-limite é menor que 1, então limntoinftyn,r^n=0.
  • Se |r|>1, a razão-limite é maior que 1 e a sequência diverge em módulo.
  • Se |r|=1, para r=1 temos ntoinfty (diverge) e para r=-1 o módulo cresce sem limite e há alternância de sinal (não converge).
    Logo, n,r^n converge somente se |r|<1.

Resposta

a) A sequência r^n converge se, e somente se, |r|<1 ou r=1.
b) A sequência n,r^n converge se, e somente se, |r|<1.

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