a) Faça um gráfico ou uma tabela para estimar o valor do limite
lim n infty n^5n!
b) Use a tabela ou gráfico da letra a) para encontrar o menor valor de N que corresponde a varepsilon=0,1 na definição de limite.

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a sequência
an = n^5n!
e estimar seu limite quando ntoinfty usando um gráfico ou tabela. Em seguida, usando essa tabela, determinar o menor N tal que, na definição de limite de sequência para varepsilon=0,1, tenhamos
l|an - Lr| < 0,1para todo n>= N
Aqui sabemos que o limite L deve ser 0, pois o crescimento de n! domina n^5.

Passo 2

Vamos montar uma tabela com alguns valores de an=tfracn^5n!:
c|cccccccccc n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10hline n^5n! &1 &16 &40,5 &42,7 &26,0 &10,8 &3,33 &0,813 &0,163 &0,0276
Nessa tabela vemos que, após um pico em n=4, os valores caem rapidamente para zero.

Passo 3

A partir da tabela percebe-se que anto0 conforme ntoinfty. Logo o limite é
limntoinftyn^5n!=0

Passo 4

Na definição de limite de sequência, para L=0 e dado varepsilon=0,1, queremos o menor N tal que
l|an - 0r| = n^5n! < 0,1 para todo n>= N
Da tabela, em n=9 temos tfrac9^59!approx0,163>0,1, mas em n=10 obtemos tfrac10^510!approx0,0276<0,1. Portanto o menor N é 10.

Resposta

N = 10

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