Encontre o menor número x tal que x seja divisível por todos os * 10 pontos números de 1 a 10 e prove que ele é o menor possível.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o menor número x que seja divisível por todos os números de 1 a 10. Estamos falando de Mínimo Múltiplo Comum (MMC) aqui. O MMC de um conjunto de números é o menor número que é múltiplo de todos eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o MMC passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os números de 1 a 10: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Passo 3

Agora, vamos fatorar cada número em fatores primos:
  • 1 não tem fatores primos.
  • 2 = 2
  • 3 = 3
  • 4 = 2^2
  • 5 = 5
  • 6 = 2 times 3
  • 7 = 7
  • 8 = 2^3
  • 9 = 3^2
  • 10 = 2 times 5

Passo 4

O próximo passo é identificar os fatores primos únicos e o maior expoente com que cada primo aparece nas fatorações:
  • Para o 2 : o maior expoente é 3 (de 8 = 2^3 )
  • Para o 3 : o maior expoente é 2 (de 9 = 3^2 )
  • Para o 5 : o maior expoente é 1 (de 5 e 10 = 2 times 5 )
  • Para o 7 : o maior expoente é 1 (de 7 )

Passo 5

Agora, multiplicamos esses fatores primos elevados aos maiores expoentes:
MMC = 2^3 times 3^2 times 5^1 times 7^1

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
2^3 = 8
3^2 = 9
5^1 = 5
7^1 = 7
Multiplicando todos juntos:
8 times 9 = 72
72 times 5 = 360
360 times 7 = 2520

Resposta

O menor número x que é divisível por todos os números de 1 a 10 é 2520.

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