Determine se a sequência converge ou diverge: (Valor: 2,0 pontos)
n^2 e^-n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência an = n^2 e^-n e precisamos descobrir se ela converge (chega a um valor específico) ou diverge (fica aumentando ou diminuindo sem parar). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dessa expressão conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que fique mais fácil de analisar o limite. Sabemos que e^-n = 1e^n , então podemos escrever:
an = n^2e^n
Isso nos ajuda a ver que estamos lidando com um quociente onde o numerador cresce como n^2 e o denominador cresce como e^n , que é uma função exponencial.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento desses dois componentes conforme n aumenta. O numerador n^2 cresce de forma polinomial, ou seja, cresce rápido, mas o denominador e^n cresce de maneira exponencial, que é muito mais rápida que qualquer função polinomial.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos calcular o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty n^2e^n
Sabemos que, em geral, funções exponenciais superam funções polinomiais no crescimento. Portanto, esperamos que esse limite seja zero.

Passo 5

Vamos confirmar isso usando regras de limites. Uma técnica comum é usar a regra de L’Hôpital, que nos permite resolver limites de indeterminação do tipo inftyinfty. Aplicando a regra de L’Hôpital duas vezes:
Primeira derivada:
limn to infty 2ne^n
Segunda derivada:
limn to infty 2e^n = 0

Resposta

Portanto, a sequência an = n^2 e^-n converge e o seu limite é 0 .

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