Determine se a sequência converge ou diverge: (Valor: 2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência
e precisamos descobrir se ela converge (chega a um valor específico) ou diverge (fica aumentando ou diminuindo sem parar). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dessa expressão conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que fique mais fácil de analisar o limite. Sabemos que
, então podemos escrever:
Isso nos ajuda a ver que estamos lidando com um quociente onde o numerador cresce como
e o denominador cresce como
, que é uma função exponencial.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento desses dois componentes conforme
aumenta. O numerador
cresce de forma polinomial, ou seja, cresce rápido, mas o denominador
cresce de maneira exponencial, que é muito mais rápida que qualquer função polinomial.
Passo 4
Para formalizar isso, podemos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que, em geral, funções exponenciais superam funções polinomiais no crescimento. Portanto, esperamos que esse limite seja zero.
Passo 5
Vamos confirmar isso usando regras de limites. Uma técnica comum é usar a regra de L’Hôpital, que nos permite resolver limites de indeterminação do tipo
. Aplicando a regra de L’Hôpital duas vezes:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Resposta
Portanto, a sequência
converge e o seu limite é
.