Resolva a inequação: 2 x+1x-2>1.
(a) S=x in R mid 1<x <= 3,
(b) S=x in R mid x<-3 cupx>2,
(c) S=x in R mid-6 <= x <= 3 cupx >= 5,
(d) S=x in R mid-3<x <= 3 cupx>9,
(e) S=x in R mid-5 <= x <= 1 cupx >= 9.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2x+1x-2 > 1
Este é um caso de inequação racional de primeiro grau; vamos transformá-la em uma única fração comparada a zero.

Passo 2

Subtraímos 1 para obter uma única expressão sobre um denominador comum:
2x+1x-2 - 1 = 2x+1 - (x-2)x-2 = x+3x-2
Logo a inequação equivale a
x+3x-2 > 0

Passo 3

Identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador mudam de sinal:
x=-3 (zera o numerador) e x=2 (anula o denominador, tornando a expressão indefinida). Esses pontos particionam a reta em três intervalos.

Passo 4

Analisamos o sinal de x+3x-2 em cada intervalo:
Para x<-3, ambos x+3<0 e x-2<0, então o quociente é positivo.
Para -3<x<2, tem-se x+3>0 e x-2<0, resultando em negativo.
Para x>2, x+3>0 e x-2>0, o quociente é positivo.

Passo 5

A inequação x+3x-2>0 vale em
(-infty,-3)cup(2,infty),
excluindo x=-3 (onde a fração vale zero) e x=2 (indefinição). Comparando com as alternativas, corresponde à

Resposta

(b) S=xinRmid x<-3cupx>2

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