Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
{(2n^2 + 1) / (3n^2 - n)} n = 1 até infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, também temos que achar o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites em sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o termo geral da sequência, que é . Nosso objetivo é encontrar o limite dessa expressão quando n tende ao infinito.

Passo 3

Uma estratégia comum para resolver isso é dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo maior expoente de n, que nesse caso é n^2. Isso ajuda a simplificar a expressão e facilita a análise do limite.

Passo 4

Dividindo cada termo por n^2, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando n fica muito grande, ou seja, tende ao infinito. Os termos e 1/n vão se aproximar de 0. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 2/3.

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