Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
{(n^2 + 1)/n}_{n=1}^{infinito}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa achar o limite dela. Isso envolve o estudo de limites de sequências, um tópico fundamental no cálculo. Vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo alto e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. A sequência é:
Podemos dividir cada termo do numerador por :
Então, a sequência simplificada fica:

Passo 3

Agora, queremos descobrir o comportamento de quando tende ao infinito. Ou seja, vamos calcular:
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, olhamos para quando tende ao infinito:
Isso significa que essa parte da sequência cresce sem limites.

Passo 5

Agora, analisamos quando tende ao infinito:
Essa parte da sequência se aproxima de zero.

Passo 6

Juntando os dois resultados, temos:

Resposta

A sequência é divergente, pois seu limite é infinito.

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