Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre o limite.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de sequências, onde precisamos determinar se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, também encontraremos o seu limite. Para isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta conforme o índice $ n $ varia.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência dada: $ a_{n} = \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) $. Isso significa que, para cada termo da sequência, estamos calculando o cosseno de $ \frac{n \pi}{2} $.
Passo 3
Para entender o comportamento da sequência, vamos calcular os primeiros termos substituindo valores de $ n $:
- Para $ n = 0 $: $ a_0 = \cos(0) = 1 $
- Para $ n = 1 $: $ a_1 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $
- Para $ n = 2 $: $ a_2 = \cos(\pi) = -1 $
- Para $ n = 3 $: $ a_3 = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $
- Para $ n = 4 $: $ a_4 = \cos(2\pi) = 1 $
Passo 4
Observamos que a sequência dos termos é: $ 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ··· $. Isso indica que os termos da sequência estão oscilando entre 1, 0 e -1 de forma repetitiva.
Passo 5
Para uma sequência ser convergente, ela deve se aproximar de um único valor à medida que $ n $ cresce. No entanto, nossa sequência não está se aproximando de nenhum valor específico, mas sim alternando entre diferentes valores continuamente.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) $ é divergente, pois não converge para nenhum limite específico.