Se
for inteiro,
, determine
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de $ e^{-n x} $ de 0 até o infinito, onde $ n $ é um número inteiro maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: $ e^{-n x} $. Essa é uma função exponencial decrescente, porque o expoente é negativo. Quando $ x $ aumenta, $ e^{-n x} $ tende a zero.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral de $ e^{-n x} $ em relação a $ x $ de 0 até infinito. A fórmula para integrar uma função exponencial $ e^{a x} $ é:
onde $ C $ é a constante de integração. No nosso caso, $ a = -n $.
Passo 4
Aplicando a fórmula, temos:
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração.
Passo 5
Vamos calcular os limites:
- Quando $ x $ tende a infinito, $ e^{-n x} $ tende a 0, então a primeira parte fica:
- Quando $ x = 0 $, $ e^{-n \times 0} = e^{0} = 1 $, então a segunda parte fica:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-n x} , dx $ é igual a $ \frac{1}{n} $.