Determine se a seqüência é convergente ou divergente. Se as seqüências convergem, encontre seus limites.
an=n ln nn+ln n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n ln n,n + ln n,
e pede para estudar a convergência quando ntoinfty e, caso convergente, encontrar o limite.

Passo 2

Para entender o comportamento de an, lembramos que ln n cresce muito mais devagar que n. Assim, para n grande, o termo ln n é “pequeno” em comparação a n.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por n, de modo a “fatorar” esse crescimento dominante:
an = n ln n,n + ln n, = ln n,1 + ln nn,

Passo 4

Agora observamos dois limites clássicos:
  1. limntoinftyln nn = 0.
  2. limntoinftyln n = +infty.
    Logo, no quociente
ln n,1 + ln nn,,
o denominador tende a 1 enquanto o numerador tende a +infty.

Passo 5

Portanto
limntoinftyan = limntoinftyln n1 + ln nn = +infty,
ou seja, a sequência não se estabiliza num valor finito.

Resposta

A sequência diverge, pois limntoinftyan = +infty.

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