Determine se a seqüência é convergente ou divergente. Se as seqüências convergem, encontre seus limites.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para estudar a convergência quando
e, caso convergente, encontrar o limite.
Passo 2
Para entender o comportamento de
, lembramos que
cresce muito mais devagar que
. Assim, para
grande, o termo
é “pequeno” em comparação a
.
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
, de modo a “fatorar” esse crescimento dominante:
Passo 4
Agora observamos dois limites clássicos:
-
. -
.
Logo, no quociente
o denominador tende a
enquanto o numerador tende a
.
Passo 5
Portanto
ou seja, a sequência não se estabiliza num valor finito.
Resposta
A sequência diverge, pois
.